Eksponenciālā funkcija ir nepārtrauktas salikšanas pamats, kas ir rezultāts, palielinot bezgalīgi (kad p mēdz būt bezgalīgs) procentu aprēķina biežumu saliktajā savienojumā.
Citiem vārdiem sakot, eksponenciālā funkcija ir salikts savienojums, kurā laika periodi starp procentu aprēķiniem ir bezgalīgi mazi (ļoti mazi).
Eksponenciālās funkcijas formula ir šāda:
Nepārtrauktu salikšanu var izteikt kā
Saprātīgas līdzības starp nepārtrauktu kapitalizāciju un eksponenciālu funkciju, vai ne?
Mēs definējam nepārtrauktās kapitalizācijas mainīgos:
- Ct + 1: kapitāls brīdī t + 1 (vēlāk).
- Ct: kapitāls brīdī t (pašreizējais).
- it: procentu likme laikā t.
- p: salikšanas biežums vai periodiskums.
- t: laiks.
Pieteikumi
Finansēs mēs bieži atrodam eksponenciālu funkciju nākotnes ienākumu nepārtrauktas kapitalizācijas formulā un dažās ekonometriskās regresijās.
Ekonomikā tas nav tik populārs, jo vairumā mikroekonomisko un makroekonomisko modeļu tiek pieņemts, ka to ražošanas faktoru robežrādītājs samazinās. Līdz ar to viņi pieņem, ka faktori seko logaritmiskām atdevēm un tāpēc atgriežas pretēji eksponenciālajai funkcijai.
Eksponenciālās funkcijas piemērs
Mēs pieņemam, ka mēs esam amerikāņu investors, kurš vēlas uzbūvēt slēpošanas trasi Pico Bolívar, Venecuēlā. Sākotnējais ieguldījums ir 100 miljoni ASV dolāru ar gada procentu likmi 100%. Šim ieguldītājam ir pietiekama sarunu vara, lai noteiktu viņa ieguldījuma procentu aprēķināšanas periodiskumu.
Kādai alternatīvai amerikāņu investors dos priekšroku?
Lai atbildētu uz jautājumu, mums būs savlaicīgi jāaprēķina kapitāls t + 1 (Ct + 1), ko ieguldītājs saņems.
Pieejamā informācija:
Ct: $ 100MM
it: 100%
t: 1 (gadā)
Ct + 1: ?
| Alternatīva | TO | B | C | D | UN | F |
| Periodiskums | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Mēs aizstājam divās formulās esošo informāciju (funkcija exp. Un nepārtraukta lielo burtu lietojums)
Mēs apstrādājam datus, izvairoties no MM.
Mēs dalām (Ct + 1) uz 100 eksponenciālā funkcijā, lai novērstu kapitāla ietekmi. Tādā veidā mēs pārvietojam komatu divas vietas uz priekšu. Līdz ar to šis efekts ir redzams nākamajās rezultātu kolonnās.
Rezultāti:
| Formula | Nepārtraukta salikšana | Eksponenciālā funkcija |
| Periodiskums (p) vai (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Kad n vai p mēdz būt bezgalīgi, šajā gadījumā no 10 000 000, mēs varam redzēt, ka vērtības saplūst ar noteiktu skaitli. Nepārtrauktai salikšanai tas ir 271,8281 un eksponenciālajai funkcijai tas ir 2,718281. Abas sērijas tuvojas un.
Atbilde uz vingrinājumu ir atrisināta
Tātad, kādu alternatīvu amerikāņu ieguldītājs izvēlēsies, ja no vairākām periodiskumiem kapitāls būs t + 1 (Ct + 1) letiņi par noteiktu vērtību?
- Ja šis ieguldītājs kapitālu uztver kā diskrētu mainīgo, viņš izvēlēsies alternatīvu D. Tā kā no C alternatīvas kapitāls pie t + 1 (Ct + 1) konverģē uz USD 271 MM.
- Ja šis ieguldītājs kapitālu uztver kā nepārtrauktu mainīgo, tad viņš izvēlēsies alternatīvu ar lielāku periodiskumu. Šajā gadījumā alternatīva F. Pat ja tā galu galā saplūst ar vērtību, investors ņem vērā visus ciparus aiz komata.
Šī konverģence nozīmē, ka kapitāls pie t + 1 (Ct + 1), kas aprēķināts, izmantojot nepārtrauktās salikšanas formulu vai eksponenciālās funkcijas, seko samazinošajai robežatdevei. Citiem vārdiem sakot, (C.t + 1) var izteikt kā logaritmisko funkciju.
Shematiski:
- Periodiskums = eksponenciālā funkcija.
- Kapitāls uz t + 1 (C.t + 1) = logaritmiskā funkcija.
Grafiskais attēlojums
Diagrammā jūs varat redzēt, kā eksponenciālā funkcija, kas ir bezgalīgi nepārtraukta, aug daudz ātrāk nekā ierobežotā nepārtrauktā kapitalizācija. Runājot par nepārtrauktu kapitalizāciju, mēs atsaucamies uz sava veida salikto kapitalizāciju, bet ar lielāku periodiskumu, jo praksē intereses nav iespējams kapitalizēt bezgalīgi. Es domāju, ka mēs nevaram izmantot katru sekundi.