Puasona sadalījums ir diskrēts varbūtības sadalījums, kas modelē noteiktu notikumu biežumu noteiktā laika intervālā, pamatojoties uz šo notikumu vidējo biežumu.
Citiem vārdiem sakot, Puasona sadalījums ir diskrēts varbūtības sadalījums, kas, tikai zinot notikumus un to vidējo rašanās biežumu, mēs varam uzzināt to varbūtību.
Puasona sadalījuma izteiksme
Ņemot vērā diskrētu nejaušo mainīgo X, mēs sakām, ka tā biežumu var apmierinoši tuvināt Puasona sadalījumam tā, ka:
Atšķirībā no normālā sadalījuma Puasona sadalījums ir atkarīgs tikai no viena parametra - mu (atzīmēts ar dzeltenu).
Mu ziņo par paredzamo notikumu skaitu, kas notiks noteiktā laika intervālā. Runājot par kaut ko "gaidītu", mums tas ir jāpārorientē, lai domātu par vidējo. Tāpēc mu ir notikumu biežuma vidējais lielums.
Gan vidējais, gan šī sadalījuma dispersija ir ļoti stingri pozitīva.
Pārstāvība
Ņemot vērā Puasona sadalījumu ar vidējo 2, blīvuma varbūtības sadalījums ir šāds:
Funkcija ir definēta tikai ar veselām x vērtībām.
Ne visi Puasona blīvuma varbūtības sadalījumi izskatīsies vienādi, pat ja paraugu saglabāsim vienādu. Ja mainīsim vidējo, tas ir, parametru, no kura atkarīga funkcija, mainīsies arī funkcija.
Varbūtības blīvuma funkcija (pdf)
Šo funkciju saprot kā varbūtību, ka nejaušais mainīgais X iegūst noteiktu vērtību x. Tas ir negatīvā vidējā eksponents, kas reizināts ar novērojumam izvirzīto vidējo un visu dalīts ar novērojuma faktoriālu.
Kā norādīts, lai uzzinātu katra novērojuma varbūtību, mums būs jāaizstāj visi novērojumi funkcijā. Citiem vārdiem sakot, x ir n dimensijas vektors, kas satur visus nejaušā mainīgā X novērojumus. Vidējais būtu arī vektors, bet vienas dimensijas, piemēram:
Kad mums ir aprēķinātās varbūtības, kopā ar novērojumiem mēs varam uzzīmēt varbūtību blīvuma sadalījumu.
Stāsts
Šī sadalījuma nosaukums radies tā radītājam, Simeonam-Denisam Puasonam (1781-1840), franču matemātiķim un filozofam, kurš vēlējās modelēt notikumu biežumu noteiktā laika intervālā. Viņš piedalījās arī lielu skaitļu likuma pilnveidošanā.
App
Puasona sadalījums tiek izmantots operacionālā riska jomā, lai modelētu situācijas, kurās notiek darbības zaudējumi. Tirgus riska gadījumā Puasona procesu izmanto gaidīšanas laikam starp finanšu darījumiem augstfrekvences datu bāzēs. Lai modelētu bankrotu skaitu, tiek ņemts vērā arī kredītrisks.
Piemērs
Mēs pieņemam, ka esam ziemas sezonā un vēlamies slēpot pirms decembra. Varbūtība, ka slēpošanas kūrorti tiks atvērti pirms decembra, ir 5%. No 100 slēpošanas kūrortiem mēs vēlamies uzzināt varbūtību, ka tuvākais slēpošanas kūrorts tiks atvērts pirms decembra. Šī slēpošanas kūrorta vērtējums ir 6 punkti.
Lai aprēķinātu Puasona blīvuma varbūtības funkciju, nepieciešami dati ir datu kopa un mu:
- Datu kopa = 100 slēpošanas kūrorti.
- Mu = 5% * 100 = 5 ir paredzamais slēpošanas kūrortu skaits, ņemot vērā datu kopu.
Tātad tuvākajai stacijai ir 14,62% iespēja, ka tā tiks atvērta līdz decembrim.
Frekvences varbūtība