Kombinatorika bez atkārtošanās 2021. gads

Kombinatoriku bez atkārtošanās saprot kā dažādas kopas, kuras var veidot ar elementiem «n», kas izvēlēti no x x. Katram komplektam ir jāatšķiras no iepriekšējā vismaz vienā no tā elementiem (secībai nav nozīmes), un tos nevar atkārtot.

Kombinatorika bez atkārtošanās parasti tiek izmantota statistikā un matemātikā. Tas atbilst daudzām reālās dzīves situācijām, un tā piemērošana ir diezgan vienkārša.

Ņemsim, piemēram, studentu, kuram ir 4 jautājumu eksāmens. No 4 jautājumiem viņam jāizvēlas trīs.Cik dažādas kombinācijas students varēja izdarīt? Ja mēs nedaudz argumentētu, mēs redzētu (faktiski nepielietojot formulu), ka students var izvēlēties, kā atbildēt uz 3 jautājumiem četros dažādos veidos.

• 1. kopa / variants: atbildiet uz jautājumiem 1,2,3.
• 2. komplekts / variants: atbildiet uz jautājumiem 1,2,4.
• 3. kopa / variants: atbildiet uz jautājumiem 1,3,4.
• 4. komplekts / variants: atbildiet uz jautājumiem 2,3,4.

Kā mēs redzam, students var veidot 4 kopas (n) no 3 elementiem (x). Tāpēc kombinatorika bez atkārtošanās mums parāda, kā veidot vai sagrupēt ierobežotu datu / novērojumu daudzumu noteikta lieluma grupās, nevienu no elementiem nevarot atkārtot katrā grupā. Šī ir galvenā atšķirība starp kombinatorisko ar atkārtošanos (katras grupas elementus var atkārtot) un kombinatorisko bez atkārtošanās (katrā grupā nevar atkārtot nevienu elementu)

Šajā piemērā jāuzsver, ka runa ir par kombinatoriku bez atkārtošanās, jo students nevar izvēlēties uzdot kādu no jautājumiem vairāk nekā vienu reizi. Tāpēc kopu elementus nevar atkārtot.

Iepriekšējā gadījumā, ņemot vērā, ka kopējais elementu skaits ir mazs un kopas daudzums ir liels, iespēju skaits ir mazs un to var viegli secināt, nepiemērojot formulu. Ja formulu izmantotu tieši, skaitītājs būtu 24 (4 * 3 * 2 * 1) un saucējs būtu 6 (3 * 2 * 1 * 1), ar kuriem mēs tāpat nonāktu pie aprēķina nedomājot par to, kā mēs šos četrus jautājumus varētu sagrupēt trīs kopās.

Kā aprēķināt kombinatoriku bez atkārtošanās?

Kombinatorijas formula bez atkārtošanās ir:

Kur:

• n = Kopējie novērojumi
• x = Atlasīto vienumu skaits

Piemērs kombinatorisks bez atkārtošanās

Iedomāsimies 12 karavīru militāro vienību. Armijas kapteinis vēlas izveidot 2 karavīru grupas, lai iefiltrētos aiz ienaidnieka līnijām dažādos punktos, cik dažādas grupas viņš varētu izveidot?

Lai atrisinātu problēmu, mums vispirms ir jāidentificē kopējais elementu skaits. Šajā gadījumā kopā ir 12 karavīri, tāpēc mums jau ir mūsu n. Tā kā kapteinis vēlas 2 cilvēku grupas, mēs jau zinām, kas ir mūsu x. Zinot to, mēs varētu aizstāt formulu un grupu kombināciju skaits būtu 2.

• n = 12
• x = 2

Aizstājot:

Piemērojot koeficientu saucējam, mums būtu 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600. Saucējam mums ir 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7 257 600. Mūsu kombinatoriskais skaitlis ir = 479 001 600/7 257 600 = 66.

Kā redzam, kapteinis var izveidot 66 dažādus karavīru pārus no tiem 12, kas viņam ir.