Matricu lineārā transformācija ir lineāras darbības, izmantojot matricas, kas modificē attiecīgā vektora sākotnējo izmēru.
Citiem vārdiem sakot, mēs varam modificēt vektora dimensiju, reizinot to ar jebkuru matricu.
Lineārās transformācijas ir matricas vektoru un īpašvērtību pamatā, jo tās ir lineāri atkarīgas viena no otras.
Ieteicamie raksti: operācijas ar matricām, vektoriem un īpašvērtībām.
Matemātiski
Mēs definējam matricuC jebkura no 3 × 2 dimensijas reizināta ar dimensijas vektoru Vn = 2 tāds, ka V = (v1, v2).
Kādas dimensijas būs rezultātu vektors?
Vektors, kas rodas no matricas reizinājumaC3×2ar vektoruV2×1būs jauns 3. dimensijas V 'vektors.
Šīs vektora dimensijas izmaiņas ir saistītas ar lineāru transformāciju caur matricu C.
Praktisks piemērs
Ņemot vērā kvadrātveida matricuR ar izmēru 2 × 2 un vektoruV 2. dimensijas.
Vektora dimensijas lineāra transformācijaV tas ir:
kur vektora sākotnējā dimensija V bija 2 × 1, un tagad vektora pēdējā dimensija Tu redzi3 × 1. Šīs izmaiņas dimensijā tiek panāktas, reizinot matricu R.
Vai šīs lineārās transformācijas var attēlot grafiski? Nu protams!
Mēs attēlosim rezultātu vektoru V 'plaknē.
Tad:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafiski
Īpašie vektori, izmantojot grafisko attēlojumu
Kā, aplūkojot grafiku, mēs varam noteikt, ka vektors ir dotās matricas īpašvektors?
Mēs definējam matricuD 2 × 2 izmēra:
Vai vektori ir v1= (1,0) un v2= (2,4) matricas īpašvektori D?
Process
1. Sāksim ar pirmo vektoru v1. Mēs veicam iepriekšējo lineāro transformāciju:
Tātad, ja vektors v1 ir matricas īpašvektors D, iegūtais vektors v1"Un vektors v1viņiem vajadzētu piederēt tai pašai līnijai.
Mēs pārstāvam v1 = (1,0) un v1’ = (3,0).
Tā kā abi v1kā V1’Pieder pie tās pašas līnijas, v1 ir matricas īpašvektors D.
Matemātiski pastāv konstanteh(īpašvērtība) tā, lai:
2. Turpinām ar otro vektoru v2. Mēs atkārtojam iepriekšējo lineāro transformāciju:
Tātad, ja vektors v2 ir matricas īpašvektors D, iegūtais vektors v2"Un vektors v2 tiem vajadzētu piederēt tai pašai līnijai (kā diagramma iepriekš).
Mēs pārstāvam v2 = (2,4) un v2’ = (2,24).
Tā kā v2 un V2’Nepiederiet tai pašai līnijai, v2 nav matricas īpašvektors D.
Matemātiski nav konstantah(īpašvērtība) tā, lai:
