Cramér-Rao saistība (CCR) ir minimālā dispersija, kuru, ņemot vērā regularitātes nosacījumus, var sasniegt viena parametra novērtētājs.
Citiem vārdiem sakot, mēs meklējam dispersiju, kas ir vistuvāk šai zemākajai robežai, lai atrastu labāko novērtētāju atbilstoši objektivitātes un efektivitātes īpašībām.
Ieteicams izlasīt novērtētāju īpašības
Šīs īpašības tiek izmantotas, ja mums ir jāizvēlas novērtētājs, lai veiktu ekonometrisko analīzi. Ja mēs vēlamies, lai mūsu rezultāti būtu vismaz pārliecinoši, mums būs jāpieprasa, lai aprēķinātājs būtu objektīvs un lai no visiem objektīvajiem novērtētājiem būtu iespējami mazāka dispersija (efektivitāte).
Lai gan mēs ņemam vērā visus objektīvos novērtētājus, meklējot minimālās dispersijas novērtētāju, var gadīties, ka ir vēl viens objektīvs novērtētājs, kuram ir mazāka dispersija.
Lai no mums neizbēg objektīvs novērtētājs ar minimālu dispersiju, mēs nosakām minimālo vai apakšējo robežu, kuru parametra objektīvā novērtētāja dispersija nevar pārsniegt.
Mēs aplūkojam tikai objektīvos novērtētājus, jo tendenciozajiem novērtētājiem var būt mazākas atšķirības nekā CCR.
Formulējums
Mēs definējam:
f (X; Θ): varbūtības blīvuma funkcija.
E (·): matemātiskā cerība.
Es (Θ): Fisher informācija par parametru.
Pārstāv "informācijas daudzumu" par parametra vērtību, kas iekļauta nejaušā mainīgā X novērojumā.
Formula:
Neļauties panikai! Ko mēs varam redzēt no pirmā acu uzmetiena no šīs formulas?
- Mēs varam redzēt, ka tā ir ne-stingra nevienlīdzība (≥), nevis vienlīdzība (=). Tas ir tāpēc, ka dažos gadījumos mēs neatrodam (neeksistē) objektīvu novērtētāju, kas sasniegtu saistīto CCR. Tāpēc mēs sakām, ka mēs meklējam objektīvā novērtētāja dispersiju, kas ir pēc iespējas tuvāka šai apakšējai robežai. Turklāt CCR mums norāda, kāda būs minimālā aprēķinātāja dispersija, zem šī skaitļa to nevar atrast.
- Labajā pusē esošā daļa (var (Θ ’) ir mūsu parametra novērtējuma dispersija.
- Daļa pa kreisi (1 / J (Θ)) ir nepārvarams dispersijas minimums.
- Ja mēs meklējam (absolūto) minimumu Θ novērtētāja dispersijai, ir loģiski, ka parādās daļēji atvasinājumi (atvasinājums attiecībā pret Θ).
- Ekonomikā daļējas atvasinājumus izmanto pirmās un otrās kārtas apstākļos, lai optimizētu lietderības funkcijas: atrodiet attiecīgi relatīvo un absolūto maksimumu un minimumu.
- CCR izmanto varbūtības blīvuma funkcijas f (X; Θ) parametra partial pirmo daļējo atvasinājumu.
- Aprēķināšanas ērtībai dažos gadījumos CCR iegūšanai izmanto otro atvasinājumu un alternatīvu Fišera informāciju.
Novērtētāji, kuriem, neobjektīvi, dispersija ir vienāda ar CCR, tad tiks uzskatīti par visefektīvākajiem. Līdzīgi tie objektīvie, kuru dispersija ir tuvāka, tiks uzskatīti par salīdzinoši efektīvākiem nekā citi novērtētāji (tālāk).