Binomiālais sadalījums ir diskrēts varbūtības sadalījums, kas raksturo panākumu skaitu, veicot n neatkarīgus eksperimentus ar nejaušo mainīgo..
Šajā varbūtību sadalījumā var raksturot lielu eksperimentu vai notikumu daudzveidību. Iedomājieties monētu metienu, kurā mēs kā panākumu definējam notikuma "sitienu ar galvu". Ja mēs mestu monētu 5 reizes un saskaitītu iegūtos sitienus (galvas), mūsu varbūtības sadalījums iederētos binomālā sadalījumā.
Tāpēc binomālo sadalījumu saprot kā testu vai izmēģinājumu sēriju, kurā mums var būt tikai 2 rezultāti (veiksme vai neveiksme), veiksme ir mūsu nejaušais mainīgais.
Binomālā sadalījuma īpašības
Lai izlases mainīgo varētu uzskatīt par binomālo sadalījumu, tam jāatbilst šādām īpašībām:
- Katrā izmēģinājumā, eksperimentā vai testā ir iespējami tikai divi rezultāti (veiksme vai neveiksme).
- Panākumu varbūtībai jābūt nemainīgai. To attēlo burts p. Monētas pagriešanas varbūtība ir 0,5, un tā ir nemainīga, jo monēta nemainās katrā eksperimentā un galvu varbūtība ir nemainīga.
- Arī neveiksmes varbūtībai jābūt nemainīgai. To attēlo burts q = 1-p. Ir svarīgi atzīmēt, ka, izmantojot šo vienādojumu, zinot p vai zinot q, mēs varam iegūt to, kura mums trūkst.
- Katrā eksperimentā iegūtais rezultāts nav atkarīgs no iepriekšējā. Tāpēc tas, kas notiek katrā eksperimentā, neietekmē šādus.
- Notikumi ir savstarpēji izslēdzoši, tas ir, tie nevar notikt abi vienlaikus. Nav iespējams būt gan vīrietim, gan sievietei vienlaicīgi vai ka, metot monētu, tā vienlaikus iznāks gan ar galvām, gan astēm.
- Notikumi ir kopīgi izsmeļoši, tas ir, vismaz vienam no diviem ir jānotiek. Ja jūs neesat vīrietis, jūs esat sieviete un, ja jūs izmetat monētu, ja tā nenāk galvā, tai jābūt astēm.
- Nejaušais mainīgais, kas seko binomiālajam sadalījumam, parasti tiek attēlots kā X ~ (n, p), kur n apzīmē izmēģinājumu vai eksperimentu skaitu un p veiksmes varbūtību.
Binomālā sadalījuma formula
Formula normālā sadalījuma aprēķināšanai ir:
Kur:
n = izmēģinājumu / eksperimentu skaits
x = veiksmju skaits
p = veiksmes varbūtība
q = atteices varbūtība (1-p)
Ir svarīgi atzīmēt, ka izteiksme kvadrātiekavās nav matricas izteiksme, bet ir kombinatoriska rezultāts bez atkārtošanās. To iegūst, izmantojot šādu formulu:
Izsaukuma zīme iepriekšējā izteiksmē apzīmē faktoriālo simbolu.
Binomālā sadalījuma piemērs
Iedomāsimies, ka 80% cilvēku pasaulē ir redzējuši pēdējā futbola pasaules kausa izcīņas finālmaču. Pēc pasākuma tiekas 4 draugi, lai parunātos.Kāda ir varbūtība, ka 3 no viņiem ir redzējuši spēli?
Definēsim eksperimenta mainīgos:
n = 4 (ir mūsu kopējais paraugs)
x = panākumu skaits, kas šajā gadījumā ir vienāds ar 3, jo mēs meklējam varbūtību, ka 3 no 4 draugiem to ir redzējuši.
p = veiksmes varbūtība (0,8)
q = kļūmes varbūtība (0,2). Šo rezultātu iegūst, atņemot 1-p.
Pēc visu mūsu mainīgo definēšanas mēs formulā vienkārši aizstājam.
Faktoriāla skaitītājs tiktu iegūts, reizinot 4 * 3 * 2 * 1 = 24, un saucējā mums būtu 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Tāpēc faktoriāles rezultāts būtu 24/6 = 4 .
Ārpus kronšteina mums ir divi skaitļi. Pirmais būtu 0,8 3 = 0,512 un otrais 0,2 (jo 4-3 = 1 un jebkurš skaitlis, kas paaugstināts līdz 1, ir vienāds).
Tāpēc mūsu galīgais rezultāts būtu: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Ja reizinām ar 100, mums ir 40,96% varbūtība, ka 3 no 4 draugiem ir redzējuši Pasaules kausa finālmaču.