Funkcionālie vienādojumi ir tie, kuriem ir cita funkcija kā nezināma. Funkcija, kuru var saistīt ar tādu algebrisko darbību kā saskaitīšana, atņemšana, dalīšana, reizināšana, jauda vai sakne.
Funkcionālos vienādojumus var definēt arī kā tādus, kurus to izšķirtspējai nav viegli reducēt uz algebras funkciju, kura tips f (x) = 0.
Funkcionālos vienādojumus raksturo tas, ka nav viena veida to atrisināšanas veida. Turklāt attiecīgajam mainīgajam var būt dažādas vērtības (mēs to redzēsim ar piemēriem).
Funkcionālo vienādojumu piemēri
Daži funkcionālo vienādojumu piemēri ir:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ un2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
Tādos gadījumos kā iepriekšējie var pievienot, piemēram, ka x pieder reālo skaitļu kopai, tas ir, x ∈ R (nulli var izslēgt).
Funkcionālo vienādojumu piemēri
Apskatīsim dažus atrisinātu funkcionālo vienādojumu piemērus:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Tātad, ja es aizstātu x ar 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1/2x) -3f (1/2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1/16x)
Apskatīsim vēl vienu piemēru ar nedaudz grūtāk, bet turpināsim līdzīgi:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
Šajā gadījumā vispirms mēs atrisinām f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Tagad es aizstāju x ar 5-x 1. vienādojumā:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2). f (5-x) -f (x) = 15-3x
Mēs atceramies, ka f (5-x) ir 2. vienādojumā:
(25-10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Košī funkcionālais vienādojums
Cauchy funkcionālā funkcija ir viena no pamata šāda veida funkcijām. Šim vienādojumam ir šāda forma:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Pieņemot, ka x un y ir racionālu skaitļu kopā, šī vienādojuma risinājums mums saka, ka f (x) = cx, kur c ir jebkura konstante, un tas pats notiek ar f (y).
