Fraktāla ģeometrija ir tā ģeometrijas nozare, kas pēta fraktālus. Tie ir sarežģīti objekti, kuru struktūra atkārtojas, kad mēs to novērojam dažādos mērogos.
Citiem vārdiem sakot, fraktāļus veido daļas, kas ir līdzīgas veselumam un ir neregulāras struktūras. Iedomāsimies brokoļu galvu, kuru sadalot, tā tiek sadalīta vairākos mazākos brokoļos.
Fraktāļu ģeometrija ir radusies no nepieciešamības labāk tuvināties realitātei, jo plaknes ģeometrija un kosmosa izpētes figūru un ķermeņu ģeometrija, kuras ļoti reti sastopam dabā.
Apsveriet, ka kalni nav konusi un ka pat Ēģiptes piramīdas, ja mēs tos uzmanīgi aplūkojam, uz to virsmām būs noteikti nelīdzenumi. Šīs nepilnības tiek sauktas ar raupjuma kvalitāti, un tā ir īpašība, kas pievieno fraktāļu ģeometriju objektiem, kuriem vairs nav tikai perimetra, laukuma un tilpuma.
Fraktāļu ģeometrijas izcelsme
Fraktāļu ģeometrijas izcelsmi aizsācis matemātiķis Benuā Mandelbrots, kā arī viņa lielākais literārais darbs: "Dabas fraktālā ģeometrija", kas publicēts 1982. gadā.
Vārds fraktāls nāk no latīņu vārda "fractus", kas nozīmē salauztu vai salauztu, un Mandelbrots to izveidoja 1975. gadā.
Ir vērts pieminēt, ka, lai arī Mandelbrots formalizēja fraktālās ekonomikas izpēti, viņš nebija pirmais, kurš pamanīja fraktāļu esamību dabā. Piemēram, ja paskatāmies uz pazīstamā japāņu gleznotāja Katsushika Hokusai darbu, mēs redzēsim, ka šis jēdziens tiek piemērots (un pats Mandelbrots to pieminēja intervijā). Piemēram, gleznā "Lielais vilnis" mēs novērojam, kā viļņa iekšpusē ir citi mazāki viļņi.
Fraktāla raksturojums
Fraktāla galvenās īpašības ir šādas:
- Līdzība ar sevi: Tas attiecas uz to, ko mēs jau minējām iepriekš. Ja mēs aplūkosim fraktāla daļu lielākā mērogā (tuvāk), tas izskatīsies tāpat kā viss objekts. Tas ir, daļa ir līdzīga veselumam, lai gan tas ne vienmēr ir tieši taisnība. Piemēram, iedomāsimies rombu, kas sastāv no daudziem maziem rombiem. Lai gan šo rombu izmērs nedaudz mainās, tas būtu fraktāls.
- Fraktāla dimensija nav vienāda ar topoloģisko dimensiju: Lai izskaidrotu topoloģisko dimensiju, iedomāsimies, ka mums ir plakne, kas sadalīta režģos, piemēram, tīkls. Tāpēc es novilku līniju, kas iet caur 2 režģiem. Ja es visus acu režģus sadalītu divās daļās, līnija ietu cauri 4 režģiem. Tas ir, tas tiek reizināts ar 2, kas ir vienāds ar samazinājuma koeficientu (2), kas paaugstināts līdz 1 (2 = 21), kas ir atlaišanas vērts, ir līnijas izmēru skaits. Tagad, ja mums ir daudzstūris, divdimensiju figūra, notiek kaut kas līdzīgs. Piemēram, ja mums ir kvadrāts, kas aptver četrus režģus, un mēs atkal piemērosim samazinājuma koeficientu 2, kvadrāts aptvers 16 režģus. Tas ir, režģu (4) skaits tiek reizināts ar 4, kas ir 2 paaugstināts līdz 2 (2 = 22), eksponents ir izmēru skaits kvadrātā. Tomēr viss iepriekš minētais nav taisnība fraktāļos.
- Tie nevienā brīdī nav atšķirami: Matemātiski tas nozīmē, ka attēlotās funkcijas atvasinājumu nevar aprēķināt. Vizuāli tas nozīmē, ka grafiks nav nepārtraukts, bet tam ir virsotnes, tāpēc nav iespējams izdarīt atvasinājumu.
Fraktāļu ģeometrijas pielietošana
Fraktāles ģeometriju var pielietot dažādos laukos. Piemēram, 1940. gadā Luiss Fraijs Ričardsons bija novērojis, ka dažādas robežas starp valsti un valsti mainījās atkarībā no mērījumu skalas. Tas ir, ja mēs izmērām ģeogrāfisko kontūru, rezultāts atšķirsies atkarībā no izmantotā lineāla garuma. Tas kalpoja par atsauci Mandelbrotam savā 1967. gada rakstā, kas publicēts žurnālā Science: "Cik ilgi ir Lielbritānijas krasti?"
To var izskaidrot, ja ņem vērā, ka ģeogrāfiskās teritorijas ir fraktāļi, un, kā mēs tos redzam plašākā mērogā, mēs redzam vairāk pārkāpumu.
Cits fraktālās ģeometrijas pielietojums ir seismisko kustību un kustību analīze akciju tirgū.
Turklāt mums jāatzīst, ka fraktāļi ir kalpojuši par iedvesmu tādiem māksliniekiem kā iepriekšminētais Hokusa, un mums ir arī Džeksona Polloka gadījums.
