Čebiševa nevienlīdzība - kāda tā ir, definīcija un jēdziens

Čebiševa nevienlīdzība ir statistikā izmantota teorēma, kas nodrošina konservatīvu novērtējumu (ticamības intervālu) par varbūtību, ka nejaušs mainīgais ar ierobežotu dispersiju atradīsies noteiktā attālumā no tā matemātiskās cerības vai vidējā.

Tās formālā izpausme ir šāda:

X = aprēķinātā vērtība

µ = aprēķinātās vērtības matemātiskā cerība

Ϭ = paredzamās vērtības standartnovirze

k = standartnoviržu skaits

Sākot ar šo vispārīgo izteicienu un attīstot daļu, kas paliek absolūtās vērtības robežās, mums būtu šādi:

Ja pievēršam uzmanību iepriekšējam izteicienam, var redzēt, ka daļa pa kreisi ir ne vairāk kā a ticamības intervāls. Tas mums piedāvā gan aprēķinātās vērtības apakšējo, gan augšējo robežu. Tāpēc Čebiševa nevienlīdzība mums norāda minimālo varbūtību, ka populācijas parametrs atrodas noteiktā standarta noviržu skaitā virs vai zem tā vidējā. Vai arī citādi sakot, tas dod mums varbūtību, ka populācijas parametrs atrodas šajā ticamības intervālā.

Čebiševa nevienlīdzība nodrošina aptuvenas robežas aprēķinātajai vērtībai. Neskatoties uz zināmu neprecizitātes pakāpi, tā ir ļoti noderīga teorēma, jo to var pielietot plašam izlases mainīgo diapazonam neatkarīgi no to sadalījuma. Vienīgais ierobežojums, lai varētu izmantot šo nevienlīdzību, ir tas, ka k jābūt lielākam par 1 (k> 1).

Matemātiskā nevienlīdzība

Čebiševa nevienlīdzības piemērošanas piemērs

Pieņemsim, ka mēs esam ieguldījumu fonda pārvaldnieki. Mūsu pārvaldītā portfeļa vidējā atdeve ir 8,14% un standarta novirze 5,12%. Piemēram, lai zinātu, cik procentu no mūsu ienesīguma ir vismaz 3 standarta novirzes no mūsu vidējās rentabilitātes, mēs vienkārši izmantosim iepriekšējo 2. izteiksmes formulu.

k = 1,96

K vērtības aizstāšana: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%

Tas nozīmē, ka 73,9% rezultātu ir ticamības intervālā, kas atrodas pie 1,96 standartnovirzēm no vidējā.

Veiksim iepriekšējo piemēru vērtībām, kas nav k.

k = 2,46
k = 3

K vērtības aizstāšana: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%

K vērtības aizstāšana: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%

Ir 83,5% datu, kas atrodas 2,46 standarta noviržu attālumā no vidējā un 88,9% ir 3 vidējo noviržu robežās.

Izmantojot Čebiševa nevienlīdzību, ir viegli secināt, ka jo lielāka ir K vērtība (jo lielāka ir aplēstās vērtības novirze no tās vidējā), jo lielāka ir varbūtība, ka nejaušais mainīgais atrodas ierobežotā intervālā.

KurtosisCentrālās robežas teorēmaNevienlīdzība