Notikumu savienība ir darbība, kuras rezultātu veido visi neatkārtotie elementārie notikumi, kas diviem vai vairākiem kopumiem ir kopīgi un nav kopīgi.
Tas ir, ņemot vērā divas A un B kopas, A un B savienojumu veidotu visas neatkārtojamās kopas, kurām ir A un B. Intuitīvi A un B notikumu apvienošanās varbūtība nozīmētu atbildēt uz jautājums: Kāda ir varbūtība, ka A iznāks vai B iznāks?
Notikumu savienības simbols ir U. Tādā veidā, ka, ja mēs vēlamies matemātiski pamanīt divu notikumu B un D savienojumu, mēs to pamanītu kā: B U D.
Notikumu savienības vispārināšana
Līdz šim mēs esam redzējuši un norādījuši divu notikumu apvienošanos. Piemēram, A U B vai B U D. Bet ko darīt, ja mums ir trīs, četri un pat simts notikumi?
To mēs saucam par vispārinājumu, tas ir, par formulu, kas šajos gadījumos palīdz pamanīt notikumu darbības savienību. Ja mums ir 8 notikumi, desmit notikumu rakstīšanas vietā mēs izmantosim šādu apzīmējumu:
Tā vietā, lai katru notikumu sauktu par A, B vai jebkuru burtu, mēs izsauksim Jā. S ir notikums, un apakšindekss i norāda numuru. Tādā veidā, ka mēs piemērosim 10 notikumu piemēru, rīkosimies šādi:
Tas, ko mēs esam izdarījuši, ir izmantot iepriekšējo apzīmējumu un to attīstīt. Tagad mums tas nebūs vienmēr vajadzīgs. It īpaši, ja runa ir par lielu skaitu pasākumu.
Nesaskaņotu un nedisponētu notikumu savienība
Neatkarīgo notikumu jēdziens norāda, ka diviem notikumiem nav kopīgu elementu.
Kad viņi nav saistīti, notikumu apvienības darbība ir vienkārša. Jums jāpievieno tikai abu iespējamība, lai iegūtu varbūtību, ka notiek viens vai otrs notikums. Tomēr, kad notikumi nav sajukuši, jāpievieno neliela detaļa. Atkārtoti elementi ir jānovērš. Piemēram:
Pieņemsim, ka rezultātu atstarpe ir no 1 līdz 5. Notikumi ir šādi:
Notikums A: (1,2,4) -> 60% varbūtība = 0,6
Notikums B: (1,4,5) -> 60% varbūtība = 0,6
Operācija A U B intuitīvi nozīmē A notikumu un B notikumu saskaitīšanu, bet, ja mēs to izdarīsim, varbūtība būtu 1,2 (0,6 + 0,6). Un kā norāda varbūtības aksiomas, varbūtībai vienmēr jābūt starp 0 un 1. Kā mēs to atrisinām? Atņemot notikumu A un B krustojumu, tas ir, atkārtoto elementu noņemšana:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Pievēršoties varbūtībām, mums būtu:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Patiešām, varbūtība, ka parādīsies 1, 2, 4 vai 5. Pieņemot, ka visiem skaitļiem ir vienāda iespējamība, ir 80%.
Grafiski tas izskatīsies šādi:
Event Union Properties
Pievienošanās notikumam ir matemātiskas darbības veids. Daži darbības veidi ir arī saskaitīšana, atņemšana, reizināšana. Katram no tiem ir virkne īpašību. Piemēram, mēs zinām, ka 3 + 4 pievienošanas rezultāts ir tieši tāds pats kā 4 +3 pievienošanas rezultāts. Šajā brīdī notikumu savienībai ir vairākas īpašības, kuras ir vērts zināt:
- Komutatīvais: Tas nozīmē, ka secība, kādā tā ir uzrakstīta, nemaina rezultātu. Piemēram:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Asociatīvs: Pieņemot, ka ir trīs notikumi, mums ir vienalga, kurš ir pirmais un kurš nākamais. Piemēram:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Izplatītājs: Kad mēs iekļaujam operācijas krustojuma veidu, izplatīšanas īpašums ir spēkā. Paskatieties uz šādu piemēru:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Pasākuma savienības piemērs
Vienkāršs divu notikumu A un B savienojuma piemērs būtu šāds. Pieņemsim, ka gadījumā, ja mētājas perfekta mirst. Die, kam ir sešas sejas, kas numurētas no 1 līdz 6. Tādā veidā, ka notikumi ir definēti zemāk:
UZ: Tas ir lielāks par 2. (3,4,5,6) varbūtība ir 4/6 => P (A) = 0.67
C: Ļaujiet pieciem iznākt. (5) varbūtība ir 1/6 => P (C) = 0,17
Kāda ir A U C varbūtība?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Tā kā P (A) un P (C) tas jau ir, mēs aprēķināsim P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) varbūtībās P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Gala rezultāts ir:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Varbūtība, ka tā ripos vairāk par 2 vai 5, ir 67%.