Talesa teorēma ir ģeometrijas likums, kas mums saka, ka, ja līniju velk paralēli trijstūra abām pusēm, mums būs trīsstūris, kas līdzīgs sākotnējam trijstūrim.
Citiem vārdiem sakot, ja mēs sagriežam trīsstūri, velkot līniju, kas ir paralēla vienai no tās malām, mēs iegūsim trīsstūri, kas līdzīgs iepriekšējam.
Šajā brīdī jāatzīmē, ka divi trijstūri ir līdzīgi, ja to atbilstošie leņķi ir vienādi (tie mēra to pašu) un to homologās puses ir proporcionālas viena otrai.
Lai to labāk saprastu, apskatīsim šādu attēlu:
Pēc Talesa teorēmas var secināt, ka α = δ un β = ε
Turklāt, kā jau minējām iepriekš, puses ir proporcionālas, tāpēc ir taisnība, ka:
Anekdote, kuru saistījis vēsturnieks Plutarhs, stāsta, ka Miletas Taless vienā no saviem braucieniem izmantoja šo teorēmu, lai uzzinātu Ēģiptes Gīzas piramīdu (Heopsa, Hafra un Menkaures) augstumu. Tādējādi viņš nolēma pielikt nūju vertikāli pret zemi, gaidot, kamēr objekta garums būs vienāds ar tā metamo ēnu. Tajā laikā arī piramīdas ēna būtu vienāda ar tās augstumu. Šajā gadījumā līdzīgi trijstūri ir:
- Tas, kura abas puses ir stienis un tā ēna.
- Trijstūris, kura vienā pusē ir piramīdas augstums un kā otra puse - ēna.
Lai to labāk saprastu, iedomāsimies augšējā attēlā, ka piramīda ir tā, ko veido virsotnes D, E un F, tās augstums ir segments HE un tā ēna IE. Tikmēr stienis ir AB segments un tā ēna CB. Tāpēc AB / CB = HE / IE. Tas, ņemot vērā, ka saules stari ir paralēli (tie nekrustojas vai to pagarinājumā), tāpēc tie ar stieni veidos tādu pašu leņķi kā ar piramīdu (leņķi α un β ir vienādi).
Talesa teorēmas piemērs
Lai labāk izprastu Talesa teorēmu, aplūkosim šādu attēlu:
Ja BC mēra 7,3 metrus, DE ir 3,6 metrus, bet AB - 6,2 metrus. Kāds ir AD garums?
Mēs izolējam iepriekš parādītajā formulā, un mums ir:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2,0278 = 6,2 / AD
AD = 3,0575 metri
Talesa teorēmas paplašināšana
Thalesa teorēmu var paplašināt, analizējot divas līnijas, kuras sagriež citas līnijas, kas ir paralēlas viena otrai, kā redzams nākamajā attēlā:
Tad ir taisnība, ka:
Tas ir taisnība, jo mums šīs līnijas ir jādomā par trijstūra daļu vai, lai to redzētu citādi, ja mēs pagarinām līnijas AB un CD, tās šķērsos. Mēs labāk to redzam šajā attēlā:
Talesa otrā teorēma
Ir arī otra Thales teorēma, saskaņā ar kuru, ja mums ir trīsstūris, ko veido apkārtmēra diametrs un divas līnijas, kas to šķērso (tie sagriež skaitli divos punktos), tas ir pretējs diametram pretējais leņķis, tas ir, , mēra 90º.
Jāatceras, ka diametrs ir tas segments, kas, ejot cauri apkārtmēram, savieno divus pretējus minētās figūras punktus.
Iepriekš redzamo labāk varam redzēt šādā attēlā:
Mēs varam pārbaudīt šo teorēmu, ņemot vērā to, ka AC, AD un AB mēra vienādi un ir vienādi ar apkārtmēra rādiusu (rādiuss ir jebkurš segments, kas savieno apļa punktu ar figūras centru un ir vienāds ar pusi diametrs). Tātad trijstūri ABC un ABD ir vienādsānu un to abas līdzīgās malas ir pretēji leņķi, kas mēra arī to pašu, tas ir:
AC = AD = AB = r (apkārtmēra rādiuss)
γ = β un α = δ
Tad, ja mēs redzam trīsstūri CBD un atceramies, ka trijstūra iekšējiem leņķiem jāsasniedz 180 °, mums ir:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180 °
α + β = 90º
Tāpēc CBD trīsstūris ir taisnleņķa trīsstūris.