Īpašvektori ir vektori, kas matricas lineārajās transformācijās reizināti ar īpašvērtību. Īpašvērtības ir konstantes, kas matricas lineārajās transformācijās reizina īpašivektorus.
Citiem vārdiem sakot, īpašvektori pārveido informāciju no sākotnējās matricas vērtību reizinājumā ar konstanti. Īpašvērtības ir šī konstante, kas reizina īpašos vektorus un piedalās sākotnējās matricas lineārajā transformācijā.
Lai gan tā nosaukums spāņu valodā ir ļoti aprakstošs, angļu valodā tiek saukti pamatvektori īpašvektori un īpašvērtības, īpašvērtības.
Ieteicamie raksti: matricas tipoloģijas, apgrieztā matrica, matricas noteicējs.
Paši vektori
Īpašvektori ir elementu kopas, kas, reizinot jebkuru konstanti, ir līdzvērtīgas sākotnējās matricas un elementu kopu reizināšanai.
Matemātiski īpašvektorsV= (v1,…, Vn) no kvadrātveida matricasJ ir jebkurš vektorsV kas atbilst šādai izteiksmei jebkurai konstanteih:
QV = hV
Pašas vērtības
Nemainīgais h ir īpašvērtība, kas pieder īpašvektoram V.
Īpašās vērtības ir reālās saknes (saknes, kuru risinājumam ir reāli skaitļi), kuras mēs atrodam, izmantojot raksturīgo vienādojumu.
Īpašvērtību raksturojums
- Katrai īpašvērtībai ir bezgalīgi īpašvektori, jo ir bezgalīgi reāli skaitļi, kas var būt katra īpašvektora daļa.
- Tie ir skalāri, tie var būt kompleksi skaitļi (nav reāli) un tie var būt identiski (vairāk nekā viena vienāda īpašvērtība).
- Īpašvērtību ir tik daudz, cik ir rindu (m) vai kolonnas (n) ir sākotnējā matrica.
Vektori un īpašvērtības
Starp vektoriem un īpašvērtībām pastāv lineāra atkarības sakarība, jo īpašvērtības reizina īpašusvektorus.
Matemātiski
Ja V ir matricas īpašvektorsZ Jā h ir matricas īpašvērtība Z, pēc tamhV ir lineāra kombinācija starp vektoriem un īpašvērtībām.
Raksturīgā funkcija
Raksturīgo funkciju izmanto, lai atrastu matricas īpašvērtībasZ kvadrāts.
Matemātiski
(Z - hl) V = 0
Kur ZJāh ir definēti iepriekš unEs ir identitātes matrica.
Noteikumi
Lai atrastu matricas vektorus un īpašvērtības, tam jābūt apmierinātam:
- Matrica Z kvadrāts: rindu skaits (m) ir vienāds ar kolonnu skaitu (n).
- Matrica Z īsts. Lielākajai daļai matricu, ko izmanto finansēs, ir patiesas saknes. Kāda ir reālu sakņu izmantošanas priekšrocība? Nu, matricas īpašvērtības nekad nebūs sarežģīti skaitļi, un tas, draugi, daudz atrisina mūsu dzīvi.
- Matrica (Z- Sveiki) nav invertējams: noteicošais = 0. Šis nosacījums palīdz mums vienmēr atrast citus vektorus, izņemot nulli. Ja mēs atrastu īpašvektorus, kas vienādi ar 0, tad reizinājums starp vērtībām un īpašivektoriem būtu nulle.
Praktisks piemērs
Mēs pieņemam, ka mēs vēlamies atrast a vektorus un īpašvērtībasZ 2 × 2 izmēru matrica:
1. Mēs aizstājam matricu Z JāEs raksturīgajā vienādojumā:
2. Mēs fiksējam faktorus:
3. Mēs reizinām elementus tā, it kā mēs meklētu matricas noteicēju.
4. Šī kvadrātvienādojuma risinājums ir h = 2 un h = 5. Divas īpašvērtības, jo matricas rindu vai kolonnu skaits Z ir 2. Tātad, mēs esam atraduši matricas īpašvērtības Z kas savukārt padara determinantu 0.
5. Lai atrastu īpašvektorus, mums būs jāatrisina:
6. Piemēram, (v1, v2) = (1,1) h = 2 un (v1, v2) = (- 1,2) h = 5:
