Set algebra - kas tas ir, definīcija un jēdziens

Kopu algebra ir mācību joma matemātikā un loģikā, kas vērsta uz darbībām, kuras var veikt starp kopām.

Kopu algebra ir daļa no tā, ko mēs zinām kā kopu teoriju.

Jāatceras, ka kopa ir dažādu veidu elementu, piemēram, burtu, ciparu, simbolu, funkciju, ģeometrisko figūru, grupēšana.

Iestatiet darbības

Galvenās operācijas ar kopām ir šādas:

Savienība: Divu vai vairāku kopu savienojums satur visus elementus, kas pieder vismaz vienai no šīm kopām. To norāda ar burtu U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

Krustojums: Divu vai vairāku kopu krustojumā ietilpst elementi, kurus šīs kopas koplieto. To norāda apgrieztais U (∩). Piemērs:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

Atšķirība: Viena komplekta atšķirība attiecībā pret otru ir vienāda ar pirmās kopas elementiem, atņemot otrā elementa elementus. To norāda ar simbolu vai -. Skatīts citā veidā, x ∈ a A B, ja x ∈ A, bet x ∉ B. Piemērs:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

Papildināt: Kopas papildinājums ietver visus elementus, kas nav ietverti šajā kopā (bet kas pieder citai universālai atsauču kopai). To norāda virsraksts C. Piemērs:

A = (3,9,12,15,18)

U (Visums) = Visi 3 reizinājumi, kuru veselie dabiskie skaitļi ir mazāki par 30.

TO^C=(6,21,24,27)

Simetriskā atšķirība: Divu kopu simetriskā atšķirība ietver visus elementus, kas atrodas vienā vai otrā, bet ne abus vienlaikus. Tas ir, tas ir kopu savienojums, atņemot to krustojumu. Tās simbols ir Δ. Piemērs:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

Dekarta produkts: Tā ir operācija, kuras rezultātā tiek izveidots jauns kopums, kurā kā elementi ir sakārtoti pāri vai to elementu pāri, kas pieder divām vai vairākām kopām. Tie ir sakārtoti pāri, ja tie ir divi komplekti, un, ja mums ir vairāk nekā divi komplekti, pāri. Piemērs:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Kopas algebras likumi

Noteiktās algebras likumi ir šādi:

Īpatnība: Kopas savienojums vai krustojums ar sevi rada to pašu kopu:

XUX = X

X∩X = X

Komutatīvais: Faktoru secība nemaina rezultātu, atrodot kopu savienojumu vai krustojumu:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

Izplatītājs: Kopas X savienojums ar divu citu Y un Z kopu krustojumu ir vienāds ar X un Y savienojuma krustojumu ar X un Z savienojumu. Tas ir:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Turklāt tas pats sakāms, ja mainām darbību secību:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

Asociatīvs: Vairāku kopu savienojuma vai krustošanās darbības noteikumus var sagrupēt neskaidri, vienmēr iegūstot to pašu rezultātu:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

Morgana likums: Divu kopu savienojuma papildinājums ir vienāds ar to papildinājumu krustojumu, un divu kopu krustojuma papildinājums ir vienāds ar to papildinājumu savienojumu.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

Atšķirības likums: Viena komplekta atšķirība attiecībā pret otru ir vienāda ar pirmā un otrā papildinājuma krustojumu:

(X-Y) = X∩Y^C

Papildināt likumus:
- Kopas savienojums ar tā papildinājumu nav vienāds ar universālo kopu. XUX^C= U
- Kopas krustojums ar tā papildinājumu ir vienāds ar nulles vai tukšo kopu. X∩X^C=∅
- Kopas X komplementa papildinājums ir vienāds ar kopu X. (X^C)^C= X
- Universālā kopas papildinājums ir vienāds ar nulles vai tukšo kopu. X^C=∅
- Tukšās kopas papildinājums ir vienāds ar universālo kopu. ∅^C= U