Kopu teorija ir matemātikas (un loģikas) nozare, kas veltīta kopu raksturlielumu un to starpā veicamo darbību izpētei.
Tas ir, kopu teorija ir pētījumu joma, kas vērsta uz kopām. Tāpēc tā ir atbildīga par to īpašību un to savstarpējo attiecību analīzi, kuras viņiem piemīt. Tas ir, tā savienojums, krustojums, papildinājums vai cits.
Mums jāatceras, ka kopa ir elementu grupa neatkarīgi no tā, vai tie ir skaitļi, burti, vārdi, funkcijas, simboli, ģeometriskas figūras vai citi.
Lai noteiktu kopu, parasti tiek definēts raksturojums, kas ir kopīgs tā elementiem. Piemēram, kopa A ar veseliem skaitļiem, pozitīviem un pāra skaitļiem, kas mazāki par 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Kopu teorijas vēsture
Kopu teorijas vēsture meklējama krievu izcelsmes vācu matemātiķa Georga Kantora darbā, kurš tiek uzskatīts par šīs disciplīnas tēvu.
Starp tēmām, kuras Kantors pētīja, piemēram, izceļas bezgalīgo kopu un skaitlisko kopu tēmas.
Pirmais Kantora darbs pie kopu teorijas ir datēts ar 1874. gadu. Turklāt ir vērts pieminēt, ka viņam bieži notika domu apmaiņa ar matemātiķi Ričardu Dedekindu, kurš veicināja dabisko skaitļu izpēti.
Ciparu kopas
Ciparu kopas ir dažādas grupas, kurās skaitļus klasificē pēc to atšķirīgajām īpašībām. Tā ir abstrakta konstrukcija, kurai ir svarīgs pielietojums matemātikā.
Skaitliskās kopas ir sarežģītas, iedomātas, reālas, iracionālas, racionālas, veseli skaitļi un dabiski, un tās var ilustrēt šajā Venna diagrammā:
Sarežģīti skaitļiIedomātie skaitļiReālie skaitļiIracionāli skaitļiRacionālie skaitļiVeseli skaitļiDabiski skaitļi
Iestatīt algebru
Kopu algebra aptver attiecības, kuras starp tām var izveidot.
Tādējādi izceļas šādas darbības:
- Komplektu savienība: Divu vai vairāku kopu savienojums satur katru elementu, kas atrodas vismaz vienā no tiem.
- Komplektu krustojums: Divu vai vairāku kopu krustpunktā ietilpst visi elementi, kas ir kopīgi vai kopīgi.
- Iestatīt atšķirību: Viena komplekta atšķirība attiecībā pret otru ir vienāda ar pirmās kopas elementiem, atņemot otrā elementa elementus.
- Papildu komplekti: Kopas papildinājums ietver visus elementus, kas nav ietverti šajā kopā (bet kas pieder citai atsauču kopai).
- Simetriskā atšķirība: Divu kopu simetriskā atšķirība ietver visus elementus, kas atrodas vienā vai otrā, bet ne abus vienlaikus.
- Dekarta produkts: Tā ir operācija, kuras rezultātā tiek izveidots jauns komplekts. Tajā kā elementi ir sakārtoti pāri vai to elementu pāri (sakārtotas sērijas), kas pieder divām vai vairākām kopām. Tie ir pasūtīti pāri, ja tie ir divi komplekti, un, ja tie ir vairāk nekā divi komplekti, pāri.