Darmois teorēma ir teorēma, kas ļauj atrast parametra θ statistiku T ar īpašību pietiekams.
Vēl vienkāršākos vārdos tas ļauj atrast pietiekamas statistikas matemātisko izteiksmi, ja tāda ir.
Saistībā ar Fišera-Neimana faktoringa kritēriju mēs varam ņemt vērā. Fišera-Neimana faktoringa kritērijs kalpo gan, lai pārbaudītu, vai statistika atbilst pietiekama īpašībai, gan lai atrastu pietiekamas statistikas matemātisko izteiksmi (ja tāda pastāv). Turpretī Darmoisa teorēma ļauj atrast tikai pietiekamas statistikas matemātisko izteiksmi (ja tāda pastāv).
Pieņemsim, ka, kamēr Fišera-Neimana faktoringa kritērijs virzās uz priekšu (meklēšana) un atpakaļ (pārbaude), Darmois teorēma virzās tikai uz priekšu (meklēšana).
Darmoisa teorēmu formula
Teorētiski tas tiek izteikts, ņemot vērā vienkāršu nejauša mainīgā X izlases paraugu ar blīvuma funkciju f (x; θ) ar θ ∈ Ω. Ja šī funkcija pieder eksponenciālajai saimei, tas ir, to var izteikt šādi:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Tad statistika T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Lai atvieglotu aprēķinus, parasti veic logaritmisko apzīmējumu:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Protams, ir grūti saprast visu šo matemātisko apzīmējumu. Parādās daudz nezināmu, daudz burtu, daudzi operatori. Pārdefinēsim to ar sarunvalodas vārdiem. Šajā nolūkā mēs sāksim ar teorētisko definīciju, kas piemērota piemēram:
Pieņemsim, ka izlases veidā atlasīti 50 bērni (vienkārša nejauša izlase), kuriem mēs jautājam, cik daudz naudas viņi nedēļā iztērē saldumiem (nejaušais mainīgais X) ar noteiktu blīvuma funkciju (skat. Blīvuma funkciju). Tātad, ja šī blīvuma funkcija, mēs to varam izteikt šādi:
Mēs noteiksim, ka pietiekama statistika ir izteiksmes a (x) summa
Formulas daļas ir definētas šādi:
- lnβ (θ): Tā ir funkcija, kas ir atkarīga tikai no parametra (mūsu gadījumā vidējais)
- lnb (x): Tā ir funkcija, kas ir atkarīga tikai no nejaušā mainīgā X
- a (x): Tā ir funkcija, kas atkarīga tikai no X un reizina α (θ)
- α (θ): Tā ir funkcija, kas ir atkarīga tikai no parametra (mūsu gadījumā vidējais)
Darmois teorēma praksē
Lai gan mums visiem ir iespējas un instrumenti jaunas statistikas atklāšanai, tā reti ir norma. Citiem vārdiem sakot, ekonomikas profesori un nozares eksperti veic pētījumus par šīm tēmām.
Personīgi ir grūti atrast kādu, kurš būtu veltīts šāda veida pētījumu veikšanai. Tādējādi praksē šajā teorēmā ir svarīgi saprast, no kurienes rodas šī statistika, kuru mēs izmantojam.
Piemēram, lai kāds atklātu, ka vidējais rādītājs ir pietiekama statistika, viņš, iespējams, izmantoja šo procesu.