Gausa-Markova teorēma - kas tā ir, definīcija un jēdziens

Gausa-Markova teorēma ir pieņēmumu kopums, kas jāizpilda OLS (Ordinary Least Squares) novērtētājam, lai to varētu uzskatīt par ELIO (Optimal Linear Unbiased Estimator). UNGausa-Markova teorēmu formulēja Karls Frīdrihs Gauss un Andrejs Markovs.

Karls Frīdrihs Gauss un Andrē Márkovs izveidoja dažus pieņēmumus, lai OLS novērtētājs varētu kļūt par ELIO.

Ja šie 5 pieņēmumi ir izpildīti, mēs varam apstiprināt, ka aprēķinātājs ir tas, kuram ir visu lineāro un objektīvo novērtētāju minimālā dispersija (visprecīzākā). Gadījumā, ja kāds no pirmo trīs pieņēmumiem neizdodas (Linearitāte, Null vidējā-stingra eksogēnitāte vai Neviena pilnīga daudzkolinearitāte nav), OLS novērtētājs vairs nav objektīvs. Ja neizdodas tikai 4 vai 5 (Homoscedasticity un No autocorrelation), aprēķinātājs joprojām ir lineārs un objektīvs, taču tas vairs nav visprecīzākais. Apkopojot, Gausa-Markova teorēma norāda, ka:

• Saskaņā ar 1., 2. un 3. pieņēmumu OLS novērtētājs ir lineārs un objektīvs. Tagad, kamēr nav izpildīti pirmie trīs pieņēmumi, var nodrošināt, ka aprēķinātājs ir objektīvs. Lai aprēķinātājs būtu konsekvents, mums ir jābūt lielai izlasei, jo vairāk, jo labāk.
• Saskaņā ar 1., 2., 3., 4. un 5. pieņēmumu OLS novērtētājs ir lineārs, objektīvs un optimāls (ELIO).

Gausa-Markova teorēmas pieņēmumi

Konkrēti, ir 5 pieņēmumi:

1. Lineārais modelis parametros

Tas ir diezgan elastīgs pieņēmums. Tas ļauj izmantot interesējošo mainīgo funkcijas.

2. Null vidējs un stingrs eksogenitāte

Tas nozīmē, ka kļūdas, kas atkarīga no paskaidrojumiem, vidējā vērtība ir vienāda ar paredzamo beznosacījumu vērtību un ir vienāda ar nulli. Turklāt stingra eksogenitāte prasa, lai modeļa kļūdas netiktu korelētas ar novērojumiem.

Null vidējais:

Stingra eksogenitāte:

Null vidējais un stingrais eksogenitāte neizdodas, ja:

• Modelis ir slikti norādīts (piemēram, attiecīgu mainīgo izlaišana).
• Mainīgajos ir mērījumu kļūdas (dati nav pārskatīti).
• Laika rindās stingra eksogenitāte neizdodas novēlotajos endogenitātes modeļos (lai gan var pastāvēt vienlaicīga eksogenitāte) un gadījumos, kad ir atgriezeniskās saites efekti.

Šķērsgriezuma datos ir daudz vieglāk pieņemt eksogēnitātes pieņēmumu nekā laika rindu gadījumā.

3. Nav precīzas multikolinearitātes

Izlasē neviens no paskaidrojošajiem mainīgajiem lielumiem nav nemainīgs. Starp paskaidrojošiem mainīgajiem lielumiem nav precīzu lineāru sakarību. Tas neizslēdz zināmu (ne perfektu) korelāciju starp mainīgajiem. Pēc Gausa un Markova domām, kad modelim ir precīza daudzkolinearitāte, tas parasti notiek analītiķa kļūdas dēļ.

4. Homoskedastika

Kļūdas, tātad arī Y, dispersija nav atkarīga no paskaidrojošajām vērtībām un turklāt no pastāvīgās kļūdas dispersijas. Matemātiski to izsaka šādi:

Šeit ir virkne datu ar homoscedastisku izskatu.

5. Nav autokorelācijas

Divu dažādu novērojumu, kas saistīti ar X, kļūdu nosacījumi nav saistīti. Ja izlase ir nejauša, autokorelācija nebūs.

Ja man ir jāatšķiras no h. Ja izlase ir nejauša, dati un novērojumu kļūdas "i" un "h" būs neatkarīgi no jebkura novērojumu pāra "i" un "h".