Cholesky sadalīšanās ir īpašs LU matricas sadalīšanās veids, sākot no angļu valodas Lower-Upper, kas sastāv no matricas faktorēšanas divu vai vairāku matricu reizinājumā.
Citiem vārdiem sakot, Cholesky sadalīšanās sastāv no matricas, kurā ir vienāds rindu un kolonnu skaits (kvadrātveida matrica), pielīdzināšana matricai ar nullēm virs galvenās diagonāles, kas reizināta ar tās matricu, kas transponēta ar nullēm zem galvenās diagonāles.
LU sadalīšanos atšķirībā no Cholesky var pielietot dažāda veida kvadrātveida matricām.
Cholesky sadalīšanās īpašības
Cholesky sadalīšanās sastāv no:
- Augšējā trīsstūra kvadrātveida matrica: Kvadrātveida matrica, kurai zem galvenās diagonāles ir tikai nulles.
- Zemāka trīsstūra kvadrātveida matrica: Matrica, kurai virs galvenās diagonāles ir tikai nulles.
Matemātiski, ja pastāv pozitīva noteikta simetriska matrica, UN, tad pastāv zemāka trīsstūra simetriska matrica, K, ar tādu pašu dimensiju kā UN, kā rezultātā:
Iepriekš minētā matrica parādās kā E. Cholesky matrica. Šī matrica darbojas kā matricas E kvadrātsakne. Mēs zinām, ka kvadrātsaknes domēns ir:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Kas ir definēts visos negatīvajos reālajos skaitļos. Tāpat kā kvadrātsakne, arī Cholesky matrica pastāvēs tikai tad, ja matrica būs daļēji pozitīva. Matrica ir daļēji pozitīva, ja lielākajiem nepilngadīgajiem ir pozitīvs vai nulles determinants.
Cholesky sadalīšanās UN ir diagonāla matrica, kas:
Mēs varam redzēt, ka matricas ir kvadrātveida un satur minētās īpašības; nulles trijstūris virs galvenās diagonāles pirmajā matricā un nulles trijstūris zem galvenās diagonāles transformētajā matricā.
Cholesky sadalīšanās lietojumi
Finansēs to izmanto, lai neatkarīgo normālo mainīgo lielumus realizētu normālos mainīgos, kas korelē atbilstoši korelācijas matricai UN.
Ja N ir neatkarīgu normālu (0,1) vektors, no tā izriet, ka Ñ ir normālu (0,1) vektors, kas korelē saskaņā ar UN.
Cholesky sadalīšanās piemērs
Šis ir vienkāršākais Cholesky sadalīšanās piemērs, jo matricām jābūt kvadrātveida, šajā gadījumā matrica ir (2 × 2). Divas rindas pa divām kolonnām. Turklāt tas atbilst īpašībām, ka nulles atrodas virs un zem galvenās diagonāles. Šī matrica ir daļēji pozitīva, jo lielākajiem nepilngadīgajiem ir pozitīvs noteicējs. Mēs definējam:
Atrisinot: c2 = 4; b · c = -2; uz2+ b2 = 5; mums ir četras iespējamās Cholesky matricas:
Visbeidzot, mēs aprēķinām, lai atrastu (a, b, c). Kad mēs tos atradīsim, mums būs Cholesky matricas. Aprēķins ir šāds:
