Vektoru lineāra kombinācija notiek, ja vektoru var izteikt kā lineāru neatkarīgu citu vektoru funkciju.
Citiem vārdiem sakot, vektoru lineārā kombinācija ir tāda, ka vektoru var izteikt kā citu vektoru lineāru kombināciju, kas ir lineāri neatkarīgi viens no otra.
Prasības vektoru lineārai kombinācijai
Vektoru lineārajai kombinācijai jāatbilst divām prasībām:
- Ka vektoru var izteikt kā citu vektoru lineāru kombināciju.
- Ļaujiet šiem pārējiem vektoriem būt lineāri neatkarīgiem viens no otra.
Lineārā kombinācija aprēķinā
Pamata matemātikā mēs esam pieraduši bieži redzēt lineāras kombinācijas, to nemanot. Piemēram, līnija ir viena mainīgā kombinācija attiecībā pret otru:
Bet saknes, logaritmi, eksponenciālās funkcijas … vairs nav lineāras kombinācijas, jo proporcijas nepaliek nemainīgas visai funkcijai:
Tātad, ja mēs runājam par vektoru lineāru kombināciju, vienādojuma struktūrai būs šāda forma:
Tā kā mēs runājam par vektoriem un iepriekšējais vienādojums attiecas uz mainīgajiem, lai izveidotu vektoru kombināciju, mainīgie ir jāaizstāj tikai ar vektoriem. Ļaujiet būt šādiem vektoriem:
Tātad, mēs tos varam uzrakstīt kā lineāru kombināciju šādi:
Vektori ir lineāri neatkarīgi viens no otra.
Grieķu burts lambda darbojas kā parametrs m līnijas vispārīgajā vienādojumā. Lambda būs jebkurš reāls skaitlis, un, ja tas neparādās, tā vērtība ir vienāda ar 1.
Tas, ka vektori ir lineāri neatkarīgi, nozīmē, ka nevienu no vektoriem nevar izteikt kā citu lineāru kombināciju. Ir zināms, ka neatkarīgie vektori veido telpas pamatu un arī atkarīgais vektors pieder šai telpai.
Parallelelepiped piemērs
Mēs pieņemam, ka mums ir trīs vektori, un mēs vēlamies tos izteikt kā lineāru kombināciju. Mēs arī zinām, ka katrs vektors nāk no vienas un tās pašas virsotnes un veido šīs virsotnes abscisu. Ģeometriskā figūra ir paralēlskaldne. Tā kā tie mūs informē, ka ģeometriskā figūra, ko veido šie vektori, ir paralēlskaldņa abscisē, tad vektori norobežo figūras sejas.
Pirmkārt, mums jāzina, vai vektori ir lineāri atkarīgi. Ja vektori ir lineāri atkarīgi, tad no tiem nevaram veidot lineāru kombināciju.
Trīs vektori:
Kā mēs varam zināt, vai vektori ir lineāri atkarīgi, ja tie nesniedz mums informāciju par savām koordinātām?
Nu, izmantojot loģiku. Ja vektori būtu lineāri atkarīgi, tad visas paralēlskaldņa sejas sabruktu. Citiem vārdiem sakot, tie būtu vienādi.
Tāpēc mēs varam izteikt jaunu vektoru w iepriekšējo vektoru lineārās kombinācijas rezultātā:
Vektors, kas attēlo iepriekšējo vektoru kombināciju:
Grafiski:
