Sanktpēterburgas paradokss ir paradokss, kuru novēroja Nikolajs Bernulli, un tam ir iemesls, kāpēc viņš nodarbojas ar azartspēlēm. Šis paradokss mums saka, ka lēmumu teorijā visas derības tiek pieņemtas neatkarīgi no to vērtības, pat ja minētā vērtība mums parāda, ka tas nav racionāls lēmums.
Sanktpēterburgas paradokss, lai mēs to pareizi saprastu, bija paradokss, kuru pēc azartspēļu novērošanas aprakstīja Nikolajs Bernulli, tāpēc šis paradokss pastāv.
Spēļu teorijaŠajā ziņā paradokss mums saka, ka formulēto lēmumu teorija mums parāda, ka racionāls lēmums derību spēlē ir viss, neatkarīgi no katras likmes paredzētās summas. Tomēr, pareizi analizējot šo situāciju un precīzi ievērojot teoriju, mēs novērojam, ka neviena racionāla būtne neizvēlētos pieņemt likmi par naudas summu, kas ir tuvu bezgalībai, lai gan teorija norāda, ka tā ir racionāla. Šī iemesla dēļ rodas paradokss.
Sākotnēji paradoksu ievēro Nikolajs Bernulli, kā tas redzams vēstulē, kuru viņš 1713. gada 9. septembrī nosūtīja Pjēram de Montmortam, franču aristokrātam un matemātiķim.
Tomēr, tā kā Nikolaja pētījums neguva rezultātus, viņš paradoksu 1715. gadā iepazīstināja ar savu brālēnu Danielu Bernulli, holandiešu izcelsmes matemātiķi un Bāzeles universitātes rektoru, kurš, Sanktpēterburgā tiekoties ar ievērojamu zinātnieku grupu, un pēc tam gadu pētījumi, 1738. gadā publicējuši jaunu mērīšanas sistēmu darbā “Jaunas teorijas ekspozīcija riska mērīšanā”.
Daniela piedāvātais modelis, atšķirībā no Nikolaja ierosinātā, liek pamatus tam, kas vēlāk pilnveidos un pabeigs paredzamās lietderības teoriju.
Sanktpēterburgas paradoksa formula
Nikolaja Bernulli brālēnam un Pjeram de Montmortam piedāvātais formulējums ir šāds:
Iedomāsimies azartspēles, kurās spēlētājam, protams, jāmaksā summa, lai piedalītos.
Pieņemsim, ka spēlētājs derēs uz astēm un monētu izmetīs līdz astēm. Pēc astes spēle tiek pārtraukta, un spēlētājs saņem $ 2 n.
Tādējādi, ja astes, spēlētājs vispirms uzvar 2 1, kas ir 2 USD. Bet, ja astes atkal, tas iegūs 2 2, kas ir 4 USD, un tā tālāk. Ja tas atkal iznāks, tas būs 8 dolāri, kas ir ekvivalents 2 3; savukārt, ja tas iznāks ceturto reizi, balva būs 16 dolāri, kas ir reprezentācija 2 4.
Tādējādi Nikolaja jautājums bija šāds: ņemot vērā iepriekš minēto secību un peļņu, cik daudz spēlētājs būtu gatavs maksāt par šo spēli, nezaudējot racionalitāti?
Sanktpēterburgas paradoksa piemērs
Ņemot vērā Nikolaja piedāvāto formulējumu un šaubas, ko viņš izvirza franču matemātiķim un viņa brālēnam, redzēsim šī paradoksi iemeslu, piemēram, lai saprastu, ko mēs domājam.
Pirmkārt, mums jāzina, ka pirms spēles sākuma mums ir bezgalīgi daudz iespējamo rezultātu. Nu, pat ja varbūtība ir 1/2, astes var iznākt tikai 8. rullī.
Tāpēc varbūtība, ka šis krusts parādās uz lozēšanas, ir:
Pk = 1 / 2k
Arī peļņa ir 2k.
Turpinot attīstību, pirmās ripas astes uzrāda pieaugumu 21 (2 USD) un varbūtība 1/2. Astes 2. mēģinājumā iegūst 22 (4 dolāri) un varbūtība 1/22; tā kā, ja astē trešajā mēģinājumā, spēlētājam ir 2 uzvara3 (8 USD) un varbūtība 1/23. Kā mēs redzam, attiecības, kas paplašinās, kamēr mēs pievienojam skrējienus.
Pirms turpināt, jāatzīmē, ka lēmumu teorijā mēs matemātisko cerību (EM) vai paredzamo spēles uzvaru saucam par balvu summu, kas saistīta ar katru no iespējamajiem spēles rezultātiem, un visus tos nosver varbūtība, ka katrs no šiem rezultātiem notiks.
Ja mēs ņemam vērā pieeju, kas parāda šo paradoksu, mēs redzam, ka, spēlējot varbūtību laimēt 2 dolārus, ir 1/2, bet turklāt varbūtība uzvarēt 4 ir 1/4, bet iespēja uzvarēt 8 dolārus ir 1/8. Tas, līdz sasniedzot tādas situācijas kā 64 dolāru laimēšana, varbūtība šai lietai ir 1/64.
Tādējādi ar šiem rezultātiem, ja mēs aprēķinām matemātisko cerību vai to, ko mēs zinām kā paredzamo spēles uzvaru, mums jāpievieno visu iespējamo rezultātu laimesti, kas svērti ar to rašanās varbūtību, tāpēc rezultāts mums parāda bezgalīgu vērtība.
Ja mēs sekojam izvēles teorijai, tā mums saka, ka mums vajadzētu likt jebkuru summu par vienkāršu faktu, ka katrs lēmums ir mums labvēlīgs. Tagad fakts, ka tas ir paradokss, ir tāpēc, ka racionāli spēlētājs nedos likmes uz nenoteiktu laiku, pat ja teorija to mudina to darīt.
Spilgts paradokss
Daudzi ir bijuši matemātiķi, kas mēģinājuši atšifrēt Bernulli piedāvāto paradoksu, tomēr ir arī daudzi, kas to nav spējuši atrisināt.
Tādējādi ir daudz piemēru, kas mums parāda, kā paradoksu ir mēģinājuši atrisināt matemātiķi, kuri pievērsušies gan spēles struktūrai, gan pašu cilvēku lēmumiem. Tomēr līdz šim mēs joprojām nevaram atrast derīgu risinājumu.
Un tas ir tas, ka, lai iegūtu priekšstatu par šī paradoksa sarežģītību, ņemot vērā šī piemēra izvēles teoriju, mēs pēc aprēķina kā iespējamo balvu pieņemam bezgalīgu skaitu monētu, kas pat pieņemot, ka tas bija iespējams, tas nebūtu saderīgs ar pašu monetāro sistēmu, jo tā ir nauda, kas, pretēji paradoksā teiktajam, ir ierobežota.
