Gadījuma mainīgā X matemātiskās cerības ir skaitlis, kas izsaka parādības vidējo vērtību, ko šis mainīgais pārstāv.
Matemātiskā cerība, saukta arī par paredzamo vērtību, ir vienāda ar nejauša notikuma pastāvēšanas varbūtību summu, kas reizināta ar nejauša notikuma vērtību. Citiem vārdiem sakot, tā ir datu kopas vidējā vērtība. Tas, ņemot vērā to, ka terminu matemātiskās cerības izdomā varbūtības teorija.
Kaut arī matemātikā notikuma vidējo vērtību sauc par matemātisko vidējo. Diskrētajos sadalījumos ar tādu pašu varbūtību katrā notikumā vidējais aritmētiskais ir tāds pats kā matemātiskais gaidījums.
Matemātisko cerību piemērs
Apskatīsim vienkāršu piemēru, lai to saprastu.
Iedomāsimies monētu. Divas galvas, galvas un astes. Kāda būtu matemātiskā cerība (paredzamā vērtība), ka tā iznāks?
Matemātiskās cerības tiktu aprēķinātas kā varbūtība, ka, ļoti daudz reižu pavēršot monētu, tā nonāks galvā.
Tā kā monēta var nonākt tikai vienā no šīm divām pozīcijām un abām ir vienāda varbūtība iznākt, mēs teiksim, ka matemātiskā cerība, ka tā iznāks ar galvām, ir viena no divām vai kas ir tas pats, 50% no laiks.
Mēs gatavojamies veikt pārbaudi un 10 reizes uzsist monētu. Pieņemsim, ka monēta ir ideāla.
Griezieni un rezultāts:
- Dārgi.
- Krusts.
- Krusts.
- Dārgi.
- Krusts.
- Dārgi.
- Dārgi.
- Dārgi.
- Krusts.
- Krusts.
Cik reizes tā ir bijusi galva (mēs skaitām C)? 5 reizes Cik reizes astes ir iznākušas (skaitām X)? 5 reizes. Varbūtība būt galvām būs 5/10 = 0,5 vai procentos - 50%.
Kad šis notikums ir noticis, mēs varam aprēķināt katra notikuma reižu skaita vidējo matemātiku. Dārgā puse ir iznākusi viena no katrām divām reizēm, tas ir, 50% gadījumu. Vidējais lielums sakrīt ar matemātisko cerību.
Matemātisko cerību aprēķins
Matemātiskās cerības tiek aprēķinātas, izmantojot katra notikuma varbūtību. Formula, kas formalizē šo aprēķinu, ir norādīta šādi:
Kur:
- X = notikuma vērtība.
- P = Notikuma varbūtība.
- i = Periods, kurā notiek šis notikums.
- N = Kopējais periodu vai novērojumu skaits.
Notikuma iespējamība ne vienmēr ir tāda pati kā monētām. Ir neskaitāmi gadījumi, kad viens notikums, visticamāk, iznāks nekā cits. Tāpēc mēs izmantojam P. Formulā, aprēķinot matemātiskos skaitļus, mums arī jāreizina ar notikuma vērtību. Zemāk mēs redzam piemēru.
Kāpēc tiek izmantotas matemātiskās cerības?
Matemātiskās cerības tiek izmantotas visās tajās disciplīnās, kurās varbūtības notikumu klātbūtne viņiem ir raksturīga. Tādas disciplīnas kā teorētiskā statistika, kvantu fizika, ekonometrija, bioloģija vai finanšu tirgi. Liels skaits procesu un notikumu, kas notiek pasaulē, ir neprecīzi. Skaidrs un viegli saprotams piemērs ir akciju tirgus.
Akciju tirgū viss tiek aprēķināts, pamatojoties uz gaidāmajām vērtībām.Kāpēc paredzamās vērtības? Jo mēs ceram, ka tas notiks, bet mēs to nevaram apstiprināt. Viss balstās uz varbūtībām, nevis noteiktībām. Ja paredzamā aktīvu atdeves vērtība vai matemātiskā cerība ir 10% gadā, tas nozīmē, ka, pamatojoties uz informāciju, kas mums ir no pagātnes, visticamāk, ka ienesīgums atkal būs 10%. Ja mēs, protams, ņemsim vērā tikai matemātiskās cerības kā metodi, lai pieņemtu lēmumus par ieguldījumiem.
Finanšu tirgus teorijās daudzi izmanto šo matemātisko cerību jēdzienu. Starp šīm teorijām ir tā, kuru Markovics izstrādāja uz efektīviem seifiem.
Skaitļos, daudz vienkāršojot, pieņemsim, ka finanšu aktīva atdeve ir šāda:
Rentabilitāte 1., 2., 3. un 4. gadā.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Paredzamā vērtība būtu ienesīguma summa, kas reizināta ar to iespējamību. Katras rentabilitātes "iespējamība" ir 0,25. Mums ir četri novērojumi, četri gadi. Katru gadu viņiem ir tāda pati varbūtība atkārtoties.
Cerība = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Ņemot vērā šo informāciju, mēs teiksim, ka aktīvu atdeves cerības ir 11,25%.
Dzīves ilgums