Teilora sērija ir virkne spēku, kas sniedzas līdz bezgalībai, kur katrs papildinājums tiek pacelts līdz jaudai, kas ir lielāka par iepriekšējo.
Katrs Teilora sērijas elements atbilst funkcijas f n-tājam atvasinājumam, kas novērtēts a punktā starp n (n!) Faktori, Un tas viss, reizināts ar x-a, kas paaugstināts līdz jaudai n.
Formālā vai matemātiskā izteiksmē Teilora sērijai ir šāda forma:
Lai labāk izprastu Teilora sēriju, mums jāpatur prātā, ka a ir punkts līnijā, kas pieskaras funkcijai f. Minēto līniju savukārt var izteikt kā lineāru funkciju, kuras slīpums ir tāds pats slīpums kā funkcija f punktā a.
Vēl viens aspekts, kas jāpatur prātā, ir tas, ka f ir diferencējama funkcija n reizes punktā a. Ja n ir bezgalība, tā ir bezgalīgi diferencējama funkcija.
Konkrētā gadījumā, kad a = 0, sēriju sauc arī par McLaurin sēriju.
Atšķirība starp sērijām un Teilora polinomu
Atšķirība starp sērijām un Teilora polinomu ir tāda, ka pirmajā gadījumā mēs runājam par bezgalīgu secību, bet otrajā tā ir ierobežota virkne.
Tādējādi Teilora polinomu var definēt kā funkcijas polinomu aproksimāciju, kas n reizes diferencējama noteiktā punktā (a).
Teilora sērijas piemēri
Daži Teilora sērijas variantu piemēri ir:
- Eksponenciālā funkcija:
- Trigonometriskās funkcijas:
Teilora sērijas lietojumi
Daži Taylor sērijas pielietojumi ir:
- Limitu analīze.
- Stacionāro punktu vai krēslu punktu analīze funkcijās.
- Pielietojums L'Hopital teorēmā (lai atrisinātu robežas).
- Integrētā novērtēšana.
- Atsevišķu sēriju konverģences un atšķirību novērtējums.
- Finanšu aktīvu un produktu analīze, ja cenu izsaka kā nelineāru funkciju.