Lielākais kopīgais dalītājs (GCF) ir lielākais skaitlis, ar kuru var sadalīt divus vai vairākus skaitļus. Tas, neatstājot paliekas.
Tas ir, lielākais kopējais dalītājs jeb GCF ir augstākais skaitlis, ar kuru skaitļu kopu var sadalīt, kā rezultātā tiek iegūts vesels skaitlis.
Dalītāju formāli var definēt kā skaitli, kas atrodas citā precīzi n reizes reizes.
Jāatzīmē, ka skaitļiem, pēc kuriem aprēķina GKF, jābūt bez nulles.
Lai to labāk izskaidrotu, apskatīsim piemēru. Pieņemsim, ka mums ir 35 un 15. Tādējādi mēs novērojam, kādi ir katra dalītāji:
- 35 dalītāji → 35,7,5,1
- Dalītāji no 15 → 15,5,3,1
Tāpēc lielākais kopējais faktors 35 un 15 ir 5.
Ir vērts pieminēt, ka, ja divu skaitļu kopējie dalītāji ir tikai 1 un -1, tos sauc par "viens otram galveno".
Metodes vislielākā dalītāja aprēķināšanai
Mēs varam atšķirt šādas trīs metodes, lai aprēķinātu lielāko kopīgo dalītāju:
- Galvenā faktora sadalīšanās: Skaitļi tiek sadalīti pirmskaitļos. Tad, lai aprēķinātu GCF, mēs ņemam kopējos skaitļus, kas paaugstināti līdz zemākajai jaudai. Piemēram, pieņemsim, ka mums ir 216 un 156:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Tāpēc lielākais kopējais dalītājs starp abiem skaitļiem būtu: (2 2) * 3 = 12
Tagad pieņemsim, ka mums ir trīs elementi: 315, 441 un 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Tad, tos sadalot, ņemot katru dalītāju ar zemāko jaudu, rezultāts būtu:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Eiklida algoritms: Sadalot uz Nāc iekšā b, tiek iegūts koeficients c un a r. Tātad lielākais kopīgais dalītājs uz Jā b ir tas pats, kas b Jā r. Tas, ņemot vērā sekojošo: a = bc + r. Lai to labāk saprastu, piemērosim šo metodi piemēram, kas iepriekš parādīts ar 216. un 156.
216/156 = 1 ar atlikušo daļu 60
tagad mēs dalām 156/60 = 2 ar atlikumu 36
Mēs atkal sadalām 60/36 = 1 ar atlikušo 24
Vēlreiz mēs sadalām 36/24 = 1 ar atlikumu 12
Un visbeidzot mēs sadalām 24/12 = 2 ar atlikušo 0
Tāpēc lielākais kopīgais dalītājs ir 12. Kā redzam, mums jāsadala, līdz atlikums ir 0, un pēdējais dalītājs būs GCF.
- Pamatojoties uz vismazāk izplatīto vairākkārtēju: Skaitļi tiek reizināti, un rezultāts tiek dalīts ar to mazāko kopīgo (LCM).
Mums jāatceras, ka vismazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM) ir mazākais skaitlis, kas atbilst nosacījumam, ka tas ir visu skaitļu kopas elementu vairākkārtējs.
Tas ir, atgriežoties pie tā paša piemēra, mēs varam sadalīties šādi:
216 = (3 3) * (2 3) un 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
Vismazāk kopīgais būtu: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334,152
Tātad: GCD = 216 * 156 / 2,808 = 12
Ir vērts pieminēt, ka šī metode darbojas tikai diviem skaitļiem.