Centrālā limita teorēma (TCL) ir statistikas teorija, kas apgalvo, ka, ņemot vērā pietiekami lielu izlases izlases izlasi, izlases vidējais sadalījums sekos normālam sadalījumam.
Turklāt TCL norāda, ka, palielinoties izlases lielumam, izlases vidējais rādītājs tuvosies populācijas vidējam skaitlim. Tāpēc ar TCL palīdzību mēs varam definēt izlases vidējā sadalījumu noteiktai populācijai ar zināmu dispersiju. Tātad sadalījums sekos normālam sadalījumam, ja izlases lielums būs pietiekami liels.
Centrālās robežas teorēmas galvenās īpašības
Centrālās robežas teorēmai ir virkne ļoti noderīgu īpašību statistikas un varbūtības laukā. Galvenie no tiem ir:
- Ja izlases lielums ir pietiekami liels, parauga vidējais sadalījums aptuveni sekos normālam sadalījumam. TCL uzskata izlasi par lielu, ja tās izmērs ir lielāks par 30. Tāpēc, ja izlase ir lielāka par 30, izlases vidējam būs izplatīšanas funkcija, kas ir tuvu normālai. Un tas ir taisnība neatkarīgi no izplatīšanas formas, ar kuru mēs strādājam.
- Vidējais populācijas un izlases vidējais lielums būs vienāds. Tas ir, visu izlases vidējo sadalījuma vidējais lielums būs vienāds ar kopējo iedzīvotāju vidējo.
- Parauga vidējā sadalījuma dispersija būs σ² / n. Kas ir populācijas dispersija dalīta ar izlases lielumu.
Tas, ka parauga vidējais sadalījums atgādina parasto, ir ārkārtīgi noderīgs. Tā kā normālo sadalījumu ir ļoti viegli pielietot, lai veiktu hipotēzes testus un izveidotu ticamības intervālus. Statistikā ir diezgan svarīgi, lai sadalījums būtu normāls, jo daudziem statistikas datiem ir nepieciešams šāda veida sadalījums. Turklāt TCL ļaus mums izdarīt secinājumus par populācijas vidējo caur izlases vidējo. Un tas ir ļoti noderīgi, ja līdzekļu trūkuma dēļ mēs nevaram apkopot datus no visa iedzīvotāja.
Centrālās robežas teorēmas piemērs
Iedomāsimies, ka mēs vēlamies analizēt S&P 500 indeksa vēsturisko vidējo atdevi, kurā, kā zināms, ir aptuveni 500 uzņēmumi. Bet mums nav pietiekami daudz informācijas, lai analizētu visus indeksā iekļautos 500 uzņēmumus. Šajā gadījumā S&P 500 vidējā rentabilitāte būtu iedzīvotāju vidējā.
Pēc TCL mēs varam ņemt šo 500 uzņēmumu paraugu analīzes veikšanai. Vienīgais ierobežojums, kas mums ir, ir tas, ka izlasē jābūt vairāk nekā 30 uzņēmumiem, lai teorēma tiktu izpildīta. Iedomāsimies, ka mēs nejauši izvēlamies 50 uzņēmumus no indeksa un atkārtojam procesu vairākas reizes. Piemērā sekojamās darbības ir šādas:
- Mēs izvēlamies apmēram 50 uzņēmumu izlasi un iegūstam visas izlases vidējo rentabilitāti.
- Mēs nepārtraukti izvēlamies 50 uzņēmumus un iegūstam vidējo rentabilitāti.
- Visu izvēlēto paraugu visu vidējo ienesīgumu sadalījums tuvinās normālajam sadalījumam.
- Visu atlasīto paraugu vidējā atdeve būs aptuvena kopējā indeksa vidējā atdeve. Kā rāda Centrālā limita teorēma.
Tāpēc, secinot no izlases vidējās atdeves, mēs varam tuvoties indeksa vidējai atdevei.
