Teilora polinoms ir funkcijas polinomsn reizes, kas atvasināmas noteiktā brīdī.
Citiem vārdiem sakot, Teilora polinoms ir galīga vietējo atvasinājumu summa, kas novērtēta noteiktā punktā.
Matemātiski
Mēs definējam:
f (x): funkcija x.
f (x0): funkcijaxnoteiktā punktā x0. Formāli ir rakstīts:
Fn)x):n-funkcijas f (x) atvasinājums.
Pieteikumi
Teilora paplašināšanās parasti tiek piemērota finanšu aktīviem un produktiem, kuru cenu izsaka kā nelineāru funkciju. Piemēram, īstermiņa parāda vērtspapīra cena ir nelineāra funkcija, kas ir atkarīga no procentu likmēm. Cits piemērs būtu iespējas, kur gan riska faktori, gan rentabilitāte ir nelineāras funkcijas. Saites ilguma aprēķins ir pirmās pakāpes Teilora polinoms.
Teilora polinoma piemērs
Mēs vēlamies atrast funkcijas f (x) Teilora aproksimācijas otro secību punktā x0=1.
1. Mēs izveidojam attiecīgos atvasinājumus no funkcijas f (x).
Šajā gadījumā viņi mums jautā līdz otrajai kārtībai, tāpēc mēs izveidosim funkcijas f (x) pirmo un otro atvasinājumu:
- Pirmais atvasinājums:
- Otrais atvasinājums:
2. Mēs aizstājam x0= 1 f (x), f '(x) un f' '(x):
3. Kad atvasinājumu vērtība būs punktā x0= 1, mēs to aizstājam ar Teilora aproksimāciju:
Mēs mazliet salabojam polinomu:
Vērtību pārbaude
Teilora aproksimācija būs atbilstoša, jo tuvāk x0 būt vērtībām. Lai to pārbaudītu, mēs aizstājam vērtības, kas ir tuvu x0 gan sākotnējā funkcijā, gan iepriekšminētajā Teilora aproksimācijā:
Kad x0=1
Sākotnējā funkcija:
Teilora tuvinājums:
Kad x0=1,05
Sākotnējā funkcija:
Teilora tuvinājums:
Kad x0=1,10
Sākotnējā funkcija:
Teilora tuvinājums:
Pirmajā gadījumā, kad x0= 1, mēs redzam, ka gan sākotnējā funkcija, gan Teilora aproksimācija dod mums vienādu rezultātu. Tas ir saistīts ar Teilora polinoma sastāvu, kuru esam izveidojuši, izmantojot vietējos atvasinājumus. Šie atvasinājumi ir novērtēti noteiktā punktā x0= 1, lai iegūtu vērtību un izveidotu polinomu. Tātad, jo tālāk no šī konkrētā punkta, x0= 1, jo mazāk piemērota būs sākotnējā nelineārā funkcija. Gadījumos, kad x0= 1,05 un x0= 1,10, ir būtiska atšķirība starp sākotnējās funkcijas rezultātu un Teilora aproksimāciju.
Bet … atšķirība ir ļoti maza, vai ne?
Teilora polinoma attēlojums
Ja mēs paplašinām galējības (kur aproksimācija attālinās no x0=1):
No pirmā acu uzmetiena tas var šķist nenozīmīgs, taču, strādājot pie diagrammas un veicot tuvinājumus, ir ļoti svarīgi ņemt vērā vismaz pirmās četras zīmes aiz komata. Aproksimāciju pamatā ir precizitāte.