Vektora modulis un Pitagora teorēma

Vektora modulis ir segmenta garums, kas orientēts telpā, kuru nosaka divi punkti un to secība.

Citiem vārdiem sakot, vektora modulis ir garums starp vektora sākumu un beigām, tas ir, kur bultiņa sākas un kur tā beidzas.

Ņemot vērā jebkuru divdimensiju vektoru:

Informācija, ko mums sniedz vektora koordinātas, tas ir, vx un vy, ir attiecīgi tās garums x asij un garums y asij.

Tātad, ja mēs zinām koordinātas, mēs varam aprēķināt vektora moduli.

Vektora modulis un Pitagora teorēma

Vai iepriekšējais zīmējums jums neatgādina ģeometrisku figūru?

Tieši tā, mēs varam iedomāties, ka koordinātu asis blakus vektoram veido taisnstūri ar pamatni vx un augstumu vy. Mēs varam sadalīt šo taisnstūri divos simetriskos trijstūros, tas ir, viņiem abiem būs vienāda pamatne un augstums.

Zilā krāsā iekrāsotajam trijstūrim ir vx pamatne un vy augstums. Tātad, zinot šo informāciju, mēs varam zināt tās hipotenūzu. Šiem aprēķiniem tiek izmantota ļoti slavena teorēma, kas pazīstama kā Pitagora teorēma.

Demonstrācija

Mēs zinām, ka Pitagora formula ir šāda:

Kur h ir hipotenūza, c ir viena kāja un c ir cita kāja.

Mūsu gadījumā mēs zinām, cik vērtas ir mūsu kājas, citiem vārdiem sakot, pamatne un augstums. Tātad, mēs varam ievietot šo informāciju vienādojumā:

Mēs turpinām noņemt h kvadrātu, lietojot kvadrātsakni:

Ja mēs sakām, ka vx = 3 un vy = 6:

Tāpēc, ja v būtu vektors ar koordinātām (3,6), tad mēs zinātu, ka tā modulis ir 6,7082. Tieši tā modulis, jo jebkura vektora v moduļa formula ir:

Mēs redzam, ka tieši informācija, kuras mums trūkst vienādojumā, sakrīt ar hipotenūzu. Citiem vārdiem sakot, vektora garums ir tas, ko mēs vēlamies aprēķināt, un hipotenūza ir trijstūra diagonāle. Tāpēc mēs varam secināt, ka Pitagora teorēmas izmantošana vektora moduļa aprēķināšanai ir derīga metode.

Tātad, ja mums jāaprēķina vektora modulis un mēs neatceramies formulu, mēs varam domāt par Pitagora teorēmu un atrisināt problēmu.

Vingrinājums atrisināts

Aprēķiniet vektora v moduli ar koordinātām (-3, -6), izmantojot Pitagora teorēmu.

Arī vektora v modulis ar koordinātām (-3,6), kas aprēķināts pēc Pitagora teorēmas formulas, ir 6,7082.